Um problema aparentemente simples, mas que permanecia sem solução por quase 50 anos, foi solucionado pelo matemático Richard Schuwartz, da Universidade Brown, na cidade de Providence nos EUA. A questão respondida foi: qual é o menor tamanho possível para se fazer uma fita de Möbius de papel?
Para quem não está ligando o nome ao objeto, vale a pena citar alguns exemplos famosos de fitas de Möbius, como o símbolo internacional de reciclagem e o logotipo do Google Drive. A principal característica desse curioso objeto matemático é que ele só tem uma superfície e uma borda. Ou seja, é uma fita de papel comum que você torce uma vez e cola as pontas.
Mas, apesar dessa provável simplicidade, o conceito dessas fitas envolve propriedades complexas e, desde que foram descritas em 1858 pelos matemáticos alemães August Möbius e Johann Listing, são objetos de fascínio de matemáticos, físicos e artistas. No campo prático, as faixas de Möbius são usadas em gravadores, máquinas de escrever, correias transportadoras, cartuchos de impressão e montanhas-russas.
A proporção ideal para se fazer uma fita de Möbius
Na verdade, uma solução para o problema das tiras de Möbius já havia sido proposta em 1977, pelos matemáticos Charles Sidney Weaver e Benjamin Rigler Halpern. Eles afirmaram que a relação entre o comprimento e a largura do papel deve ser superior a v3, ou cerca de 1,73. No entanto, a dupla não conseguiu provar sua hipótese, que ficou conhecida até agora como “conjectura de Halpern-Weaver”.
Quando Richard Schwartz, o autor da suposta solução atual (o artigo ainda não foi revisto por pares), leu que uma tira de Möbius com um centímetro de comprimento precisaria ser mais larga que v3 ou 1,73 cm, ficou imediatamente “viciado” no problema. Ele fez várias tentativas de resolvê-lo, até mesmo em um artigo de 2021, cuja abordagem acabou falhando.
Resolvendo a conjetura ótima da fita de Möbius
Cortar uma tira resultou em um trapézio.Fonte: Richard Evan Schwartz
Passando noites sem dormir por não ter resolvido o problema, Schwarts o retomou recentemente e começou a amassar fita de Möbius de papel, na expectativa de que uma forma em 2D lhe desse algum insight. E foi o que aconteceu: cortando um desses loops para formar um ângulo, ele percebeu que o papel não parecia um paralelogramo (como ele havia relatado em seu artigo anterior), mas sim um trapézio.
“Embaraçosamente, descobri recentemente que cometi um erro ao configurar o problema de otimização”, escreve Schwartz em seu artigo. Aí, com ajuda de alguns colegas, ele corrigiu sua falha e encontrou o que chamou de “uma prova realmente excelente” para a etapa intermediária, que resultou em uma simplificação do artigo.
Em um misto e surpresa, Schwarts refez suas contas, mas desta vez resolvendo corretamente o problema da otimização. E, desta vez, “acertei… v3 na mosca!”, ele conclui.
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